Temat należy traktować jako poradnik korzystania z Handlarza Surowców, gwiezdnego kupca, którego ogranicza jedynie pojemność magazynów.


Podziękowania za wykonanie danych statystycznych dla:

Podziękowanie za opracowanie wzoru na średni wydatek antymaterii i metody przybliżonej uogólnionego wzoru:

1/ Wstęp:

• W temacie Rynkowa wymiana surowców: dane statystyczne + kalkulator wymiany można znaleźć dane statystyczne wykonane dla 6000 przywołań gwiezdnego kupca oraz statystyczne opracowanie tych danych.
  
• Ja w tym temacie postanowiłem zweryfikować zasadę działania handlarza, prawdopodobieństwo uzyskania przeliczników oraz wyznaczyć średnie koszty antymaterii.
  

2/ Podstawowe informacje

• U handlarza surowców możemy dokonać wymiany metalu, kryształu i deuteru;
  
• Jednostkowe przywołanie handlarza surowców kosztuje 3.500 antymaterii (2.000 event);
  
• Możemy wymienić tyle surowców na ile pozwala na to pojemność magazynu na ten surowiec;
  
• Na każde jego przywołanie możliwa jest wymiana jednego surowca na dwa po wylosowanym przeliczniku;
  
• Przeliczniki:
  
  • 3:k:d, odpowiada wymianie: metal -> kryształ + deuter;
    
  • m:2:d, odpowiada wymianie: kryształ -> metal + deuter;
    
  • m:k:1, odpowiada wymianie: deuter -> metal + kryształ;
    
• Co jest losowane? - losowane są niewiadome oznaczone powyżej jako "m", "k", "d":
  
  • d ∈ {0.7, 0.71, 0.72, 0.73, ..., 0.98, 0.99, 1} *
    
  • k ∈ {1.4, 1.42, 1.44, 1.46, ..., 1.96, 1.98, 2}
    
  • m∈ {2.1, 2.13, 2.16, 2.19, ..., 2.94, 2.97, 3}
    
• Rozkład prawdopodobieństwa dla deuteru może być przybliżony rozkładem normalnym o parametrach:
  
  • Średnia: μ = 0.9
    
  • Odchylenie standardowe: σ = 0.1
    
• Ponieważ zakres wartości musi mieścić się w przedziale [0.7, 1], dlatego:
  
  • Dla wartości poniżej <0.7 przelicznik losowany jest raz jeszcze;
    
  • Dla wartości powyżej >1 przelicznik traktowany jest jako 1, stąd też:
    
• Prawdopodobieństwo na maksymalny przelicznik jest dużo wyższe niż na każdy inny i wynosi 16,235%
  
• Średni koszt antymaterii wymagany do uzyskania maksymalnego przelicznika wynosi: 21.559 antymaterii
  
• Przy wymianie niezależnie losowane są 2 przeliczniki, dla każdego z osobna prawdopodobieństwo maksimum wynosi 16,235% natomiast:
  
• Nie opłaca się losować, aż do uzyskania 2 maksymalnych przeliczników przy jednej wymianie ponieważ szansa na taką sytuację wynosi: 2,63575%
  
• Chcąc dokonać wymiany 1 surowca na 2 (losujemy niezależnie 2 przeliczniki) po maksymalnych przelicznikach średnio wydamy: 31.386 antymaterii
  
• Handlarza surowców możemy znaleźć na ekspedycji, wówczas każdy kolejny znaleziony handlarz polepsza nasze przeliczniki;
  
• Dokonując kilkukrotnej wymiany, dla przypadku niewystarczającej pojemności magazynów, średnie koszta będą zawsze niższe bądź równe względem zwielokrotnionych kosztów pojedynczej wymiany - patrz. metoda uogólniona.
  

* Komentarz: Jak widać losowany jest przelicznik dla deuteru "d", natomiast przeliczniki dla kryształu i metalu pozostają w stosunku: k = 2*d, m = 3*d i możliwe są tylko wartości z zakresu [0.7, 1] przemnożone przez współczynnik proporcjonalności. Dlatego np. dla kryształu nie pojawia się wartość 1.41. Na tej podstawie twierdzę, że wystarczy ustalić rozkład prawdopodobieństwa dla przelicznika deuteru!


3/ Symulacje

W celu wyznaczenia rozkładu prawdopodobieństwa założyłem, że w grze zastosowany jest system generowania liczb losowych o rozkładnie normalnym - randn(). Bazując na tym wzór umożliwiający losowanie przeliczników u handlarza surowców będzie następujący:


Powyższy wzór może być jedynie przybliżeniem, jednakże wręcz idealnie pokrywa się z danymi z gry. Poniżej przedstawiam 5 niezależnych symulacji porównawczych:

• Symulacja "holon - wzór" wykonana na podstawie 10.000.000 losowań z użyciem zamieszczonego wzoru;
  
• Symulacja "Aurora Borealis" wykonana na podstawie 1.000 losowo wybranych wartości spośród zbioru 6.000 symulacji udostępnionych w cytowanym temacie (wszystkie symulacje zostały sprowadzone do deuteru).
  

4/ Trafienia z rzędu

Tutaj chciałbym pokazać wykres trafień pod rząd, czyli jak może przebiegać symulacja dla 1000 losowań w zależności od założonego minimalnego przelicznika.



5/ Model prawdopodobieństwa

Model prawdopodobieństwa został wykonany na podstawie zdyskretyzowanego (wartości co 0.01) rozkładu normalnego o parametrach wymienionych w informacjach podstawowych - μ = 0.9 i σ = 0.1. Następnie wykreślona została dystrybuana w celu obcięcia wartości poniżej <0.7 i powyżej >1. Dystrybuanta następnie została pomniejszona o wartość prawdopodobieństwa "min" <0.7 i znormalizaowana - podzielona przez (1-min).

W ten sposób otrzymujemy model prawdopodobieństwa określającego szansę na wylosowanie minimalnie ustalonego procentu:


Podobnie możemy wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa na dokładnie ustaloną wartość przelicznika (będzie ona idealizacją histogramów):


Podsumowując dla przelicznika deuteru możemy wyznaczyć dwa powyższe prawdopodobieństwa, niemniej użyteczniejszy będzie ten pierwszy, gdyż gracz może założyć jaki minimalny przelicznik go zadowala i wówczas zna szansę zajścia takiej sytuacji. Poniżej prezentuję tabelaryczne przedstawienie wykresów z uwzględnieniem przeliczników dla kryształu i metalu. Szansa na daną wartość jest tam taka sama, ponieważ to jedynie przeskalowane wartości:


Powyższe prawdopodobieństwa obowiązują podczas każdego kolejnego losowana, jednakowoż dokonując kolejnych prób w celu wylosowania zadowalającego nas przelicznika sumaryczna szansa na trafienie rośnie. W następnym rozdziale rozpatrzę jak ewoluuje prawdopodobieństwo na dany minimalny przelicznik losowany u handlarza przy pomocy łańcuchów Markova.


6/ Prawdopodobieństwo a ilość prób - Model Markova

Handlarza surowców możemy wykorzystywać w dwóch różnych sytuacjach wymiany:

• Wymiana jednego surowca na inny surowiec;
  
• Wymiana jednego surowca na dwa surowce w interesującym nas stosunku (1:b).
  

W przypadku pierwszym sprawa jest o tyle prosta, że interesuje nas wyłącznie losowanie jednego przelicznika w każdej kolejnej próbie. Znając prawdopodobieństwo na zaistnienie minimalnego przelicznika, zawarte w tabeli w rozdziale 4, możemy z łatwością określić jak będzie się kumulować w kolejnych próbach, a zależność tą określa prosty wzór:

• P(1) - prawdopodobieństwo początkowe w 1-szej próbie;
  
• P(n) = 1 - (1 - P(1))^n - prawdopodobieństwo po n próbach.
  

Powyższy wzór bazuje na prostym drzewie decyzyjnym gdzie kolejne prawdopodobieństwa porażki (1-P(1)) są kumulowane (^n) i różnica z jednością określi prawdopodobieństwo wygranej. Poniższa tabela prezentuje prawdopodobieństwo uzyskania zadowalającego nas (minimalnie założonego) przelicznika w zależności od ilości prób:



Zastosowany wzór sprawdza się jedynie w przypadku losowania jednego przelicznika, lecz jak wiadomo u handlarza surowców niezależnie losowane są dwa przeliczniki. We wstępnie wspomniałem o tym, że nie opłaca się "maksować" przeliczników, gdyż szansa na taką sytuację jest kwadratem prawdopodobieństwa maksymalnego przelicznika (16,23%^2 = 2,635%). Jeżeli chcemy poznać prawdopodobieństwo na wylosowanie niezależnie dwóch przeliczników będziemy musieli rozważyć następujące sytuacje:

• W któreś próbie uzyskamy założony minimalny przelicznik na 1 surowiec;
  
• W innej znowuż próbie uzyskamy inny założony minimalny przelicznik na 2 surowiec;
  
• Istnieje możliwość uzyskania symultanicznie obu założonych minimalnych przeliczników, czyli jak np. powyżej przykład "maksowania".
  

Model Markova:


Istnieje bardzo dużo różnych możliwych minimalnych przeliczników, które gracz może przyjąć. Ja postanowiłem dla każdego surowca przyjąć taki sam (proporcjonalny x2 i x3 względem deuteru) minimalny przelicznik i w ten sposób skonstruować analogiczną tabelę prawdopodobieństw, do tej prezentowanej na początku rozdziału, w zależności od ilości prób, dla losowania niezależnego dwóch przeliczników (ta sama szansa dla par przeliczników):



7/ Minimalny założony przelicznik a średni przelicznik

Tutaj chciałbym poruszyć kwestię wyboru zadowalającego nas minimalnego przelicznika. Znamy już prawdopodobieństwo na wystąpienie wartości od >=0.7 (100% szans) do =1 (16.235% szans). Patrząc na wykres dotyczący wylosowania dokładnie ustalonej wartości przelicznika (idealizacja histogramów) można zauważyć, że dużą część - dominantę stanowi maksymalny przelicznik. Tak więc, zakładając jakiś minimalny przelicznik, który nam wystarcza, i tak największą część wylosowanych przeliczników będzie stanowił ten maksymalny. Krótko mówiąc potrzebujemy średniego przelicznika z którego będziemy korzystać. W celu jego obliczenia posłużyłem się średnią ważoną po prawdopodobieństwie. Ale skąd wziąć to prawdopodobieństwo?

Tak więc najpierw wykreślam wykres zależności minimalnego założonego przelicznika (OX) od prawdopodobieństwa wystąpienia maksymalnego przelicznika (OY):


Tutaj widzimy, że np. zakładając, że zadowala nas przelicznik '0.95' (wysoki) mamy nieco powyżej 50% szans na wylosowanie maksymalnego przelicznika '1'. Poniżej przedstawiam macierz prawdopodobieństw potrzebną do obliczenia średniego przelicznika:

Aby obliczyć średni przelicznik będziemy potrzebować, w zależności od minimalnego założonego przelicznika (kolumny), prawdopodobieństw wystąpień każdego przelicznika (wiersze) z osobna:



W każdej kolumnie obliczamy średnią arytmetyczną ważoną po prawdopodobieństwie. Jest to de facto pomnożenie macierzy przeliczników przez powyższą macierz.

Otrzymane wartości średnie prezentuję w następnym rozdziale, ponieważ kluczowym elementem przy korzystaniu z handlarza nie jest przelicznik, a suma antymaterii jaką musimy wyłożyć by ten przelicznik osiągnąć i to moim zdaniem główny element stanowiący o decyzji.


8/ Średni wydatek antymaterii u gwiezdnego kupca:

Tutaj na podstawie prawdopodobieństwa zajmiemy się wyznaczeniem średniego wydatku jaki myślimy ponieść aby wylosować co najmniej założony minimalny przelicznik. W tym celu pomocne będą dwie tabele prezentowane w rozdziale 6, zawierające prawdopodobieństwo w zależności od ilości prób, bowiem ta ilość prób właśnie wpływa na sumaryczny średni koszt interesu z kupcem. Również i tutaj rozważę dwa przypadki wymiany, kiedy interesuje nas tylko jeden przelicznik lub oba:

• Wymiana jednego surowca na inny surowiec - negocjujemy w celu osiągnięcia minimalnego założonego przelicznika dla danego surowca.
  

• Wymiana jednego surowca na dwa surowce - negocjujemy w celu osiągnięcia pierwszego korzystnego przelicznika, następnie po wymianie negocjujemy by osiągnąć drugi założony minimalny przelicznik, możliwe że przy jednej wymianie uda nam się wymienić oba surowce po założonym przeliczniku, możliwe też, że już dokonamy jednej wymiany i przy następnych losowaniach trafimy podwójnie.
  

• Wymiana dwóch surowców na jeden - negocjujemy w celu osiągnięcia korzystnego dla nas przelicznika na surowiec, dokonujemy wymiany na ten surowiec i powtarzamy proces dla drugiego surowca. Wówczas koszty należy mnożyć przez 2, a są one podane w pierwszej tabeli dotyczącej losowania poszczególnych przeliczników.
  

Wnioski:

Zbierając na coś surowce, w celu minimalizacji czasu prawie zawsze jesteśmy zmuszeni do dokonania handlu wszystkimi surowcami. Powyżej rozpatrzyłem obydwie możliwości jeżeli więc np. interesują nas wyłącznie maksymalne przeliczniki (bez patrzenia na średni przelicznik, który jest bliski maksa nawet dla minimalnego 0.95), to średnio wydamy, w zależności od handlu, antymaterii:

• Wymiana surowców: x -> y + z, kosztować będzie średnio: 31.386 antymaterii;
  
• Wymiana surowców: x + y -> z, kosztować będzie średnio: 43.117 antymaterii;
  
• Wymiana surowców: x -> y + 0, kosztować będzie średnio: 21.559 antymaterii.
  

Nie musimy zakładać maksów, wystarczy zobaczyć w dwóch powyższych tabelach ile jesteśmy w stanie wydawać antymaterii (dla danego typu handlu), a wówczas poznamy nasz minimalny przelicznik oraz średni przelicznik. W przypadku wymiany jednego surowca na dwa (2 tabela) musimy odczytać oba minimalne przeliczniki w danej kolumnie (przedstawiony w rozdziale 6 model Markova umożliwia wyznaczenie dowolnej konfiguracji minimalnych współczynników).

Poniższy wykres prezentuje średni wydatek antymaterii da 3 typów handlu przy założeniu par takich samych minimalnych przeliczników pozostających w proporcji 1:2:3 względem deuteru:



Istnieje także druga metoda obliczenia średniego wydatku (niewymagająca zastosowania modelu Markova w celu wyznaczenia kolejnych prawdopodobieństw) polegająca na wyznaczeniu szeregu, a opracowana przez Forumowego Asa:

Wartości prawdopodobieństw 'p' i 'q' zamieszczone są w tabeli na końcu rozdziału 5. Zakładając wszystkie możliwe kombinacje założonych minimalnych przeliczników można zbudować następującą tablicę średnich wydatków w oparciu po powyższe równanie:



9/ Uogólnienie na przypadek wielu wymian

Zarówno model oparty o łańcuchy Markowa jak i bazujący na wzorze będącym rozwiązaniem analitycznym nieskończonej sumy sum (szeregu szeregów) dotyczą przypadku, w którym wymiany na dany surowiec dokonujemy jedynie raz. Jak więc wyznaczyć średni koszt kiedy magazyny nie pozwalają na jedną turę wymian? Można do tego podejść na dwa sposoby, jeden pozwala określić wydatek średni, który będzie na pewno nie mniejszy of faktycznego (metoda łopatologiczna), a drugi określa dokładnie średni wydatek (metoda uogólniona).

Przyjmijmy następujące dodatkowe założenia:

• m - ilość przeliczników (koniecznych wymian) do wynegocjowania dla pierwszego surowca;
  
• n - ilość przeliczników (koniecznych wymian) do wynegocjowania dla drugiego surowca.
  

Tak więc:

• Metoda Łopatologiczna - po założeniu we wzorze Forumowego Asa prawdopodobieństwa na 'p' i 'q' ze względu na przeliczniki minimalne, określamy ile wspólnych, a ile pojedynczych wymian, dokonujemy. Ilość wspólnych wymian określi min(m,n), natomiast odseparowanych |m-n|.
  

• Metoda Uogólniona - wprowadzamy uogólnioną postać prawdopodobieństwa P(k,j) do wzoru (nr 9) Forumowego Asa. W ten sposób otrzymujemy finalnie następującą postać wzoru na tytułowy średni wydatek:
  

Uzasadnienie:


Dla tak przedstawionego wzoru uogólnionego można przeprowadzić obliczenia numeryczne w celu wyznaczenia średnich wydatków w zależności od czterech argumentów: {m, n, p, q}. W dalszej części rozważań zamieściłem bazę danych dla pierwszych m x n = 30x30 wyników, dla każdej pary przelicznika 'p','q', jednak wciąż istniało odgórne ograniczenia dlatego należało wynaleźć odpowiednie metody przybliżone. Tego zadania podjął się @Forumowy As, a więc zacytuję jego pracę jednocześnie zamieszczając dodatkowe wyjaśnienia na konkretnych przykładach.


10/ Przybliżenie uogólnionego wzoru dla dużych wartości m i n


Po pierwsze zauważmy, że zmienna losowa o rozkładzie P(k) jest sumą zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym. Przypomnę, że rozkład P(k) opisuje prawdopodobieństwo wylosowania m zadowalających przeliczników w k próbach. Przez p oznaczmy prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym losowaniu.

Poniżej przedstawiam przykładowe wartości prawdopodobieństw P(k,j) - należy zwrócić uwagę na rozkład wartości (bliski rozkładu normalnego) oraz jak dwa pierwsze wykresy składają się w trzeci. Czwarty wykres pokazuje koszta cząstkowe, które należy zsumować jako wzór uogólniony.


Jeśli liczba m jest dostatecznie duża, to zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład P(k) można przybliżyć rozkładem normalnym. Rozkład normalny jest jednoznacznie scharakteryzowany przez wartość średnią μ i odchylenie standardowego σ. W rozważanym przypadku te liczby są równe:

• μ = m/p
  
• σ = sqrt[m*(1-p)]/p
  

Jeśli interesuje nas wymiana nadmiarowego surowca na dwa pozostałe, to trzeba zastosować analogiczny rozkład dotyczący losowania n przeliczników z prawdopodobieństwem q. Ponownie załóżmy, że n jest dostatecznie duże. Wówczas przybliżenie rozkładem normalnym o wartości średniej ν i odchyleniu τ będzie zasadne.

• ν = n/q
  
• τ = sqrt[n*(1-q)]/q
  

Niech X1, X2 będą zmiennymi losowymi o opisanych wyżej rozkładach normalnych. Zbudujmy nową zmienną losową X daną wzorem:

• X = max(X1, X2)
  

Czyli wracając do zamieszczonego przykładu, odczytujemy już na wykresie 2D rozkład empiryczny i przybliżamy go rozkładem normalnym o podanych powyżej parametrach, następnie wyznaczamy zmienną losową X, która odpowiadać będzie wypadkowemu rozkładowi szans wygranej.


Przypadek, w którym nie powinniśmy stosować przybliżenia - dla małych wartości n i m. Rozkłady prawdopodobieństwa uwidaczniają to doskonale:

• X = max(X1, X2)
  

Zapiszmy tę równość z wykorzystaniem wartości bezwzględnej:

• X = (X1 + X2)/2 + |X1 - X2|/2
  

Wartość oczekiwana E(X) będzie przybliżeniem szukanej średniej liczby losowań.

Wartości oczekiwane E(X1) i E(X2) to po prostu liczby μ, ν. Problem pojawia się przy obliczeniu wartości oczekiwanej modułu różnicy.

Zauważmy, że różnica zmiennych losowych X1-X2 to zmienna losowa o rozkładzie normalnym ze średnią (μ-ν) i odchyleniu standardowym sqrt(σ^2 +τ^2) Wzór na wartość oczekiwaną modułu znaleźć można: Folded_normal_distribution

To tyle jeśli chodzi o część obliczeniową. Końcowy wzór przybliżony prezentuje się tak:



Ma on oczywiście sens, wtedy gdy co najmniej jedno z prawdopodobieństw p, q jest różne od 1. Jeśli obie liczby p, q są równe 1, wtedy średni wydatek K jest równy max(m, n)*C. C oznacza cenę pojedynczego losowania.

Od siebie dodam jeszcze analizę dokładności zastosowanych przybliżeń w porównaniu do wartości obliczonych numerycznie czyli z zastosowaniem uogólnionego wzoru. Wykres przedstawia względny błąd wyrażony w procentach:


Wnioski: Dla wartości m,n > 20 z powodzeniem można stosować przybliżony wzór Forumowego Asa ponieważ błąd procentowy nie przekracza tam 1.5%. Największe rozbieżności pojawiają się w sytuacji, gdy do wylosowania mamy dużo przeliczników bardzo prawdopodobnych (trafiających się prawie zawsze), jednocześnie mając względnie mało przeliczników mało prawdopodobnych (bliskich maksymalnego). Np.

Mamy 5 przeliczników maksymalnych (16,23% szans na pojawienie) oraz 15 przeliczników minimalnych (99,3% szans na pojawienie), wówczas błąd przybliżenia wyniesie -1,43% (niedoszacowanie). Takie skrajne pary wymykają się przybliżeniu ze względu na ucięty rozkład prawdopodobieństwa, a więc dla "bardzo prawdopodobnych" przeliczników - minimalnych (obu także) te niedokładności mogą być większe niż w przypadku przeliczników "mało prawdopodobnych" - wysokich. Jednocześnie im większe m oraz n te błędy maleją. Stąd też przyjęto założenie, aby numerycznie wyznaczyć pierwsze 30x30 wartości dla każdego m i n, zaś wyższe obliczać wzorem przybliżonym.


11/ Uogólnienie średniego przelicznika - harmoniczny przelicznik

Średni przelicznik wyznaczony w rozdziale 7 dotyczył wyłącznie sytuacji, w której wymiany dokonujemy jedynie raz. Była to średnia arytmetyczna ważona po prawdopodobieństwie. W przypadku wielu koniecznych wymian, gdy magazyny nie pozwalają na jedną, średni przelicznik będzie średnią harmoniczną (a nie arytmetyczną):

Uzasadnienie:


Tak więc dla przypadku 'm' wymian trzeba rozpatrzeć wszystkie możliwe średnie harmoniczne 'm' przeliczników ważone prawdopodobieństwem ich wystąpienia. Będzie więc to suma wszystkich możliwych średnich harmonicznych, których ilość określa wariancja z powtórzeniami: z R_min elementowego zbioru prawdopodobieństw przeliczników tworzymy 'm' elementowe ciągi mogących się powtarzać elementów tego zbioru: R_min^m. Oznacza to w praktyce, że rozpatrujemy sumę po każdej możliwej konfiguracji (wariancji) przeliczników:

• ∑ {i=1:R_min^m}(P(m,p_min) * harm(m,p_min)), gdzie:
  
• Prawdopodobieństwo wystąpienia konfiguracji przeliczników: P(m,p_min) = p₁ * p₂ * ... *p_m;
  
• Średnia harmoniczna dla danej konfiguracji: harm(m,p_min) = m/(1/p₁ + 1/p₂ + ...+ 1/p_m)
  

A więc możemy już zapisać finalny wzór uogólniony:


Komentarz:

• Wzór (1) określa dokładnie średni harmoniczny przelicznik dla 'm' wymian handlowych;
  
• Prawa strona hipotezy (2) to średnia harmoniczna ważona po prawdopodobieństwie (Forumowy As);
  
• Opracowała została metoda przybliżona (3) w celu wyznaczania średniego harmonicznego przelicznika, ponieważ już dla m=6 mamy do czynienia z 31^6 = 887 503 681 wariancjami wszystkich 31 przeliczników. Dla każdego kolejnego 'm' wykładnik zwiększa się, a zatem konieczne są metody przybliżone. W tym przypadku najlepszą zgodność otrzymano dla średniej uogólnionej rzędu rank=-11.
  

Obliczenia numeryczne zostały wykonane w oparciu o tabelę prawdopodobieństwa z rozdziału 7. Sumowanie wykonałem dla maksymalnie m=6, natomiast kolejne wartości obliczyłem w oparciu o wzór przybliżony:


Przelicznik Harmoniczny Kryształu:


Przelicznik Harmoniczny Metalu:


Poniżej wykres przedstawiający wyżej okazaną tabelę dla przelicznika harmonicznego deuteru:



Udanych Negocjacji - holon!

Jeżeli interesuje waz bardziej praktyczne zastosowanie tej wiedzy, oto moje wskazówki:

• Zakładamy ile jesteśmy w stanie wydawać antymaterii (prezentowana tabela) i na tej podstawie wybieramy nasze przeliczniki "d", "k", i "m".
  
• Trzeba pamiętać, że zakładamy średni wydatek antymaterii na minimalny przelicznik co gwarantuje że:
  
  • Koszty przy każdej wizycie u handlarza surowców nie będą takie same;
    
  • Wylosowany przelicznik będzie większy bądź równy założonemu, a więc mogą pojawić się wartości maksymalne i minimalnie założone zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa.
    
• Trzeba pamiętać o magazynach;
  
• Handlarza można też znaleźć na ekspedycji, wówczas kolejne trafienia handlarza, poprzednio niewykorzystanego, poprawiają wylosowane przeliczniki, a nie są losowane przypadkowo (nie jestem pewien, ale gdzieś czytałem).
  

A jeśli chodzi o praktykę, a nie teorię, to w cytowanym temacie został wykonany prosty kalkulator wymiany.
_________________________

Ja przed laty zajmowałem się zagadnieniem najkrótszego czasu gromadzenia surowców z uwzględnieniem optymalnego handlu o trzech różnych zestawach przeliczników. Kilka lat temu powstało narzędzie umożliwiające wykonanie takich obliczeń, kalkulacji których wciąż nie oferują żadne (znane mi) stronki stworzone dla ogame, dlatego gorąco zachęcam do zapoznania się także z tematem:

Co prawda jest to dedykowany dodatek do arkusza Chemikosa, ale będzie działał niezależnie, jeżeli tylko wpiszemy tam poprawne wydobycie na koncie (odczytane np. przy paczkach surowców). Więcej można przeczytać po przejściu pod wskazany adres. Dodam jeszcze, że planuję aktualizację tego kalkulatora, a w zasadzie publikację już uaktualnionej wersji.

Eureka! Dziękuję za zamieszczenie wyprowadzenia tego pięknego równania dla @Forumowy As. O ile łatwiej jest przecież obliczyć na kalkulatorze takie równanie niż iterować model Markowa 100 razy i następnie go sumować. Oczywiście obydwie metody obliczeniowe prowadzą do takich samych wyników.

Postanowiłem zacytować ten fragment pracy do pierwszego postu aby wszystko było w jednym miejscu.

Dziękuję raz jeszcze za wkład i poświęcony czas!

Postanowiłem zamieścić drobne wyjaśnienie wzoru Forumowego Asa i zaproponować jego uogólnienie dla przypadków, kiedy magazyny nie pozwalają na jedną turę wymian i trzeba i ich odpowiednio "m" i "n".

1/ Komentarz do wzoru Forumowego Asa

Skupię się jedynie na wyjaśnieniu szeregu szeregów czyli nieskończonej sumy sum. Otóż sumujemy tam wszystkie możliwe wersje zdarzań (przypadki o danym prawdopodobieństwie) i mnożymy przez funkcję max(j,k). Skutkuje to tym, że mnożymy po prostu przez liczbę, dla której w danym kroku sumowania chcemy sprawdzić całkowite prawdopodobieństwo wygrania - jest to liczba większa bo negocjacje muszą się zakończyć, a nie przerwać w połowie gdyby wziąć mniejszą liczbę.
Wzór na prawdopodobieństwo P(j,k) jest intuicyjny - wymnażamy "k-1" przegranych (1-p)^(k-1) przez jedną wygraną "p". Czyli szansa wygrania jednego przelicznika po "k-1" przegranych wynosi (1-p)^(k-1)*p. Analogiczne robimy dla drugiego przelicznika "q", a iloczyn tych dwóch określi całkowite prawdopodobieństwo wygrania w któreś iteracji sumy. Ważne jest jedynie to, co zaznaczył mi Forumowy As, aby sumy po wszystkich indeksach "j" i "k" tego prawdopodobieństwa dawały jedność - czyli odzwierciedlały 100% przypadków - samo ∑∑P(k,j).

2/ Problem który się pojawił:

Załóżmy następujący przykład: chcemy dokonać wymiany deuteru na metal i kryształ.
Magazyny nie pozwalają na jedną wymianę, okazuje się, że minimalnie wymian na metal potrzebujemy 5, a na kryształ 3.
Na pierwszy rzut oka wystarczy wyznaczyć 2 koszta: losowania 2 przeliczników (metalu i kryształu) i jednego przelicznika (metalu), następnie wziąć 3*koszt_dla _dwóch + 2*Koszt_dla_metalu. Wydamy wówczas pewną ilość antymaterii, ale to założenie jest nieprawdziwe, ponieważ np. Już dawno możemy wymienić metal pojedynczo (5 wymian), a do tej pory nie wymienić kryształu bo przelicznik jest za niski (3 wymiany). Ta prosta kalkulacja kosztów tego nie uwzględnia.

Fakty są takie, że koszta przy wielokrotnym losowaniu zawsze będą niższe od tych wymnożonych łopatologicznie jak w powyższym przykładzie. Wynika to z tego, że zawsze istnieje jakaś bardziej korzystna konfiguracja wygranych.

Niestety modelu Markowa tutaj nie da się zrobić bo liczba stanów kończących jest zmienna i bardzo skomplikowana. Można natomiast uogólnić wzór Forumowego Asa na przypadki wielu koniecznych wymian.

3/ Moja propozycja uogólnienia:

Dodatkowe oznaczenia do wzoru Forumowego Asa:

• m - ilość przeliczników do wynegocjowania dla pierwszego surowca;
  
• n - ilość przeliczników do wynegocjowania dla drugiego surowca.
  

Uogólniony wzór na prawdopodobieństwo:
Tok myślenia:



Zaproponowany wzór uogólniony:

Korzystając z tego wzoru wyznaczyłem kilka przykładowych wariantów. Błąd liczenia łopatologicznego jak dla przykładu z początku jest zawyżaniem wartości średniego wydatku o 2-4% w przypadku podobnej liczby wymian n i m. Gdy mamy do wylosowania dużo przeliczników mniej prawdopodobnych oraz mało tych bardziej prawdopodobnych błąd rośnie nawet do 20-30% (wartości z powyższego wzoru są o tyle procent mniejsze). Ode mnie tyle, może spróbuję to jakoś uprościć w mathematice, ale na silnię nie ma silnych!

W związku z tym, że rozwiązanie analityczne zamieszczonego wzoru uogólnionego nie jest problemem trywialnym, przeprowadziłem obliczenia numeryczne w celu wyznaczenia średniego wydatku antymaterii dla wszystkich możliwych konfiguracji prawdopodobieństw 'p' i 'q' (961 możliwości) dla pierwszych 20 wartości 'm' i 'n' (400 możliwości). Ilość iteracji każdej z sum przyjąłem na 300 ponieważ błąd jest wówczas pomijalnie mały. W ten sposób uzyskane 961*400 = 384400 wartości tabelarycznych może posłużyć do odczytania średniego wydatku jakiego możemy się spodziewać korzystając z handlarza surowców nie więcej niż po 20 razy na dany przelicznik w trakcje jednej dużej akcji handlowej (ograniczone pojemności magazynów).

Wyjaśnienie znaczenia symboli:

• m - ilość koniecznych wymian pierwszego surowca;
  
• n - ilość koniecznych wymian drugiego surowca;
  
• p - prawdopodobieństwo uzyskania minimalnie założonego przelicznika na pierwszy surowiec;
  
• q - prawdopodobieństwo uzyskania minimalnie założonego przelicznika na drugi surowiec;
  
• ΣΣP(kj) - suma kontrolna prawdopodobieństwa (musi być równa jedności, inaczej wyniki obarczone są błędem, w danych dokładność jest wystarczająca);
  
• Coef_formula - współczynnik, przez który należy pomnożyć koszt jednostkowy handlarza (3500 lub 2000) uzyskując w ten sposób tytułowy średni wydatek antymaterii;
  
• Coef_steps - współczynnik analogiczny do powyższego (mnożony przez 3500) zakładający "łopatologiczne" zliczanie kosztów przy pomocy podstawowego wzoru Forumowego Asa
  
• Ratio % - różnica procentowa pomiędzy wzorem dokładnym a przybliżeniem średnich kosztów sposobem "łopatologicznym" (wyjaśnienia określenia "łopatologiczny" należy szukać w moim poprzednim poście)
  

_______
edit

Zamieszczam dodatkowe pliki:

• MerchantDatabase30x30_8393s.xlsx
  
• MerchantDatabase20x20_3936s.xlsx
  
• MerchantDatabase10x10_1019s.xlsx
  

Uogólnienie średniego przelicznika - średni harmoniczny przelicznik

Po pierwsze przytoczę fragment który uzasadnia, że średni przelicznik po 'm' wymianach jest średnią harmoniczną wylosowanych przeliczników ze względu na kryterium minimalnego akceptowalnego przelicznika:


Aby uogólnić przelicznik średni ze względu na ilość wymian 'm' należy wrócić najpierw do średniego przelicznika dla 1 wymiany. Już wspominałem, że jest to średnia ważona po prawdopodobieństwie - po prostu ważona średnia arytmetyczna. Owe prawdopodobieństwo należy brać z następującej tabeli, zamieszczonej w temacie:


Teraz trzeba rozpatrzeć wszystkie średnie harmoniczne po 'm' przelicznikach i prawdopodobieństwo ich wystąpienia. Będzie więc to po prostu suma wszystkich średnich harmonicznych, których ilość określa wariancja z powtórzeniami : z R_min elementowego zbioru prawdopodobieństw tworzymy m elementowe ciągi mogących się powtarzać elementów tego zbioru.


A więc możemy zapisać już finalny wzór uogólniony:


Komentarz:

• Wzór (1) określa dokładnie średni harmoniczny przelicznik dla 'm' wymian handlowych.
  
• Prawa strona Twierdzenia (2) to średnia harmoniczna ważona po prawdopodbieństwie (Forumowy As), zauważyłem, że Wzór (1) będzie dążył do wartości ze wzoru (2) i większe będzie 'm', dowód zostawiam.
  
• Dodatkowo opracowałem przybliżoną metodę wyznaczania średniej harmonicznej ważonej dla większych 'm' ponieważ już przy m=6 mamy do czynienia z 31^6 = 887 503 681 wariancjami - możliwymi konfiguracjami wszystkich 31 przeliczników. Dla każdego kolejnego m wykładnik zwiększa się, a zatem konieczne są metody przybliżone. W tym przypadku najlepszą zgodność otrzymałem dla średniej uogólnionej rzędu=-11.
  

Obliczenia numeryczne sumowania wykonałem dla maksymalnie m=6, kolejne wartości wyznaczono w oparciu o wzór przybliżony:



Oraz wykres przedstawiający wyżej okazaną tabelę:

Wyjaśnienie (na przykładzie) przybliżonego wzoru Forumowego Asa zamieszczone w pierwszym poście w rozdziale 9: